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普兰店电工培训班,普兰店电工培训学校简介：浮点数的计算机表示（IEEE 754），由 UCB 数学教授 William Kahan 主要起草。后者也因其卓越贡献于1989年获得图灵奖。计算机组成原理与汇编语言这两门课均对该内

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浮点数的计算机表示（IEEE 754），由 UCB 数学教授 William Kahan 主要起草。后者也因其卓越贡献于1989年获得图灵奖。计算机组成原理与汇编语言这两门课均对该内容有所讲解。与课程中直接抛出公式与概念不同，我想首先与各位探讨"科学计数法"这个概念，进而讨论设计二进制的科学计数法需要涉及到哪些元素。接着，我们讨论如何在内存上表达这个方案。 后讨论计算机的具体实现。

科学计数法

我们都了解科学计数法。科学计数法的精妙之处在于，其将"量级"与"数值"两个信息拆分，让使用者对这两个信息更加明确。

如上，我们可以将任何有理数拆分成 的形式。值得注意的是：

的取值范围是

一定是一个整数

对于任何有理数，我们都可以用两个范围狭小（规则明确）的数字 B 与 C 来表示。

此外，我们知道，十进制只不过是记录数字大小的一种方式而已。历史上出现过的二进制、三进制、二十进制，都可以毫无障碍地表示数字，并且还有其独具的数学特性。

那么，二进制可以用科学计数法表示吗？答案当然是肯定的。

二进制的科学计数法

注意，这里下标2，代表这个数是二进制。 同理， 对应十进制中的数字 。

通过观察十进制的科学计数法形式，对于二进制，我们自然可以做出如下约定：

的取值范围是

一定是一个整数

这里我们补充说明一下，二进制的小数是什么样的。对于 这个十进制数，如果要将其转换为二进制：

将其整数部分与小树部分分开；

对于整数部分 5 ，我们使用"不断除以2取余数"的方法，得到 101 ;

对于小数部分 .25 ，我们使用"不断乘以2取整数"的方法，得到 .01 。

关于进制转换的具体方法与背后的数学原理，我写过一篇文章进行讨论，见这里：十进制转二进制 / 八进制 / 十六进制的手算方法，及其数学原理的通俗解释。

这里，我们只需要明确，二进制是存在小数形式的，且可以表示一切十进制可表示的数（的近似）。

计算机如何记录二进制的科学计数法

接着，我们步入正题：只会表示0/1的计算机，如何记录并表达浮点数呢？

给一个32位的空间，如果不做任何约束，我们只能将其理解为一个整数，并且其取值范围为 。

这是因为，计算机只能记录 0 和 1 这两个信息，并不能直接记录小数点点在哪里。因此，我们需要设置一定规则，取出一定位，用于表示小数点点在哪里。这必将牺牲一定的精度与取值范围。

因此，我们将这 32 位空间分为三部分：

第一部分，用于表示 精度，即这个数字值是多少，对应上面的B；

第二部分，用于表示 小数点，即量级，对应上面的C；

第三部分，用于表示 正负，只需要使用1位。

在 IEEE 754 中，我们分别将上述一、二、三部分叫做尾数M，阶码E，符号s。于是我们有了二进制的表达式：

为了表示尽可能多的、常用的小数，我们有如下需求：

对于符号位 s ，如果该位上是 0 ，则为正数；为 1 ，则为负数。

对于尾数 M ，其取值范围为 ；

对于阶码 E ，其为一个整数，并且取值范围应该含负数、0、正数。

可以注意到，对于 M 、 E ，我们并不能直接用二进制表示，还需要设定一定规则。

尾数 M

假设尾数 M 一共有 f 位，则 f 可表示的整数取值范围为 ，我们称 f 直接对应的非负整数为 C 。为了将其投影到 ，我们做出如下变换：

解码 E

假设解码 E 一共有 e 位，则 e 可表示的整数取值范围为 ，我们称 e 直接对应的非负整数为 Exp 。我们希望 E 可以取到负数，因此做出如下变换：

这样，我们的 E 取值范围就来到了 。

总结

有了如上设计的规则，我们便知晓了计算机记录浮点数的方式，以及转换流程。以下图为例。

二进制转换到其对应的十进制数0.15625过程 知识点与例题

上面我们讨论了 IEEE 754 的思想，但是并不严谨，比如：

正负无穷该怎么表达？

如此表示会不会造成空间的浪费？

...

因此，我们从数学上严谨地讨论一道例题，考虑一下规格化浮点数。例题源自我的汇编语言笔记。

题目

给定一个浮点格式(IEEE 754)，有k位指数和n位小数，对于下列数，写出阶码E、尾数M、小数f和值V的公式。另外，请描述其位表示。

数5.0；

能够被准确描述的 大奇数；

小的正规格化数。

解决 前置知识一：IEEE 754

IEEE 754约定，计算机中浮点数二进制表示为：

数字形式：

符号：s

尾数：M，是一个位于区间[1.0, 2.0)内的小数

阶码：E

编码形式：

s exp frac

exp域：E（注意，E要进行变换，再存储在exp中）； frac域：M。

前置知识二：规格化浮点数（Normalized）

这里讨论到规格化浮点数（Normalized）：

满足条件：exp不全为0且不全为1。

真实的阶码值需要减去一个偏置（biased）量：

单精度数：127（Exp：1...254，E：-126...127）

双精度数：1023（Exp：1...2046，E：-1022...1023）

，e = exp的域的位数

E = Exp - Bias

Exp：exp域所表示的无符号数值

Bias的取值：

frac的第一位隐含1：M = 1.xxx...x_2

因此第一位的“1”可以省去，xxx...x：bits of frac

Minimum when 000...0 ( )

Maximum when 111...1 ( )

前置工作一：整理变量关系

则E为

E 大值为 。（为什么不是 呢？因为有规定：exp全部取1为“非规格化浮点数”，因此规格化浮点数中exp不能全部取1，顶多为(1)*(0)）

E的 小值为 。（为什么不是 呢？因为有规定：exp全部取0为“非规格化浮点数”，因此规格化浮点数中exp不能全部取0，顶多为(0)*(1)）

前置工作二：总结特性

抛开例题，来看一个例子：

8位浮点数表示：exp域宽度为4 bits，frac域宽度为3 bits。则，其偏置量的值为2^(4-1) - 1 = 7.

其他规则符合IEEE 754规范。

取值范围如下表。

s exp frac E value

0 0000 000 -6 0

0 0000 001 -6 1/8 * 1/64 = 1/512

0 0000 010 -6 2/8 * 1/64 = 2/512

...

0 0000 110 -6 6/8 * 1/64 = 6/512

0 0000 111 -6 7/8 * 1/64 = 7/512

0 0001 000 -6 8/8 * 1/64 = 8/512

0 0001 001 -6 9/8 * 1/64 = 9/512

...

0 0110 110 -1 14/8 * 1/2 = 14/16

0 0110 111 -1 15/8 * 1/2 = 15/16

0 0111 000 0 8/8 * 1 = 1

0 0111 001 0 9/8 * 1 = 9/8

0 0111 010 0 10/8 * 1 = 10/8

...

0 1110 110 7 14/8 * 128 = 224

0 1110 111 7 15/8 * 128 = 240

0 1111 000 n/a inf

可以看出，假设frac有f位，则M可视为：

其中，C是整数，由frac决定，即 ；

并且C满足 。

则浮点数V的十进制即为：

也可写作 ：

其中， 、 分别为exp、frac位数，为常数。

解决问题一：数0.5

较为简单，直接解决如下。

0.5//转换为二进制==>
0.1//移动小数点，使其在 左边的1之后
M=1.0//小数点后的数字存储在frac中
E=-1//因为是左移
frac=0*//共n位
exp=E+Bias
=-1+(2^(e-1)-1)

则，位的描述为：

s exp frac

0 bin(-1 + (2^(e-1) - 1)) 00....(共n位)

解决问题二：能够被准确描述的 大奇数

根据前置工作二，可以看出，对于规格化浮点数可化简为：

现在的任务有两个：

是整数，不能有小数（则 应大于等于 ）；

是奇数（ 不是奇数，因此使 为奇数，则 取1，则取 ）。

下面分类讨论：

情况一：E可以取到f时，

即 时，

取 ， 取其能取的 大奇数，对应的二进制为： exp：dec2bin( )，frac：1*（frac全为1）

情况二：E取不到f时，

这种情况不可能，因为E取不到f，则很多整数都不能表示。

解决问题三： 小的正规格化数

观察：

则 取 ， 、 分别取 小。

由前置工作一， 取 ， 取 ，对应的二进制为： exp：0*1，frac：0*

后记：我第一学习浮点数是在2019年年末，当时对于浮点数的笔记和理解是有问题的。在此感谢一位湖南大学的朋友（公众号 / CSDN：梓酥），给我发邮件，指出我的问题~

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